Como ejercicio de calentamiento, usemos esta técnica para resolver el siguiente problema: ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos x que equidistan de dos puntos dados p y q? Estamos buscando los x tales que |x − p| = |x − q|. Aquí, claro, podríamos simplemente elevar al cuadrado y desarrollar, obteniendo las siguientes ecuaciones equivalentes:
|x− p|2 = |x− q|2
|x|2−2 p · x+|p|2 = |x|2−2 q · x+|q|2
(q − p) · x =1/2( |q|2−|p|2 )
(q − p) ·( x−p+ q)/2 = 0.
Así vemos que el lugar geométrico buscado es la recta perpendicular al segmento pq que pasa por su punto medio. Esta recta se llama la mediatriz de pq, y debe ser geométricamente claro que consiste de los puntos que equidistan de p y q. (Tarea: ¿Cómo se demuestra esto sintéticamente?) Pero intentemos usar la idea de la parametrización: supongamos ahora que x = x(t) es un punto variable del lugar geométrico y hallemos la tangente al lugar geométrico derivando. Vamos a necesitar saber cómo se deriva la longitud de un vector variable. Expresando la longitud como |x| = px · x reducimos el problema a saber derivar un producto punto (y saber usar la regla de la cadena, claro). Para un producto punto la regla es exactamente la misma que para un producto normal: si x = x(t) y y = y(t) son dos funciones con valores vectoriales, (x · y)′ = x′ · y + x · y′. (Tarea: Demuestra esta fórmula escribiendo x y y
en términos de sus coordenadas cartesianas: x(t)=(x1(t), x2(t)) y algo análogo para y.)
El plato fuerte: conos en juliana con rectas tangentes
¿Qué cosas interesantes podemos probar con el método de las curvas parametrizadas? Parecería que es particularmente apto para lidiar con tangentes, dado que eso es justamente lo que da el vector de velocidad. Probablemente el primer resultado de tangentes que uno aprende es que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio (trazado al punto de tangencia, claro, ¿cuál otro tendría sentido?). ¿Qué tan fácil es probar esto usando derivadas?
Resulta bastante simple: una ecuación para una circunferencia es |x − p|=r, donde p es el centro y r es el radio (así que p es un vector y r es un número). Derivando obtenemos que (x − p) · x′ = 0. (Tarea: Obténlo.) Esto nos dice que la tangente en el punto x es perpendicular al segmento xp, como queríamos.
Desde luego, hay muchas otras ecuaciones para circunferencias. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos x tales que el ángulo \pxq es recto es la circunferencia de diámetro p q. (Tarea: ¿Cómo se prueba esto sintéticamente?) O sea que la ecuación (x − p) · (x − q) = 0 también describe una circunfe- rencia. Derivando obtenemos x′ · (x − q) + (x − p) · x′ = 0, que se simplifica a (x − [p+ q]/2 ) · x′= 0. Esto es lo que esperabamos: la tangente en x es perpendicular al segmento que une a x con (p+ q)/ 2 , el centro de la circunferencia.
La siguiente cónica más complicada es la parábola, creo. ¿Qué podemos decir de sus tangentes? Nada sinuna definición de parábola. Desde luego, la mejor es la que define a la parábola como sección cónica: una parábola es la intersección de un cono con un plano paralelo a una generatriz del cono. Aquí no tengo espacio para hablar mucho de las secciones cónicas (ni siquiera pienso decir que es una generatriz, en un intento –más bien tristón, lo admito– por picar la curiosidad de quienes no lo sepan), pero es sabiduría antigua que las secciones cónicas son las soluciones del siguiente problema de lugares geométricos:
Dada una recta d (la directriz), un número e (la excentricidad) y un punto f (el foco), ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos x tales que dist(x, f)=e dist(x, d)?
Las parábolas son las cónicas con excentricidad uno, esto es, los conjuntos de puntos que equidistan de un punto (el foco) y una recta (la directriz) dados. Con esto podemos obtener una ecuación. La distancia al foco es simple de expresar, la distancia a la directriz no tanto. Tal vez la fórmula más simple se obtiene tomando un punto q sobre la directriz y el vector unitario perpendicular u. Entonces la distancia de x a la directriz es (x− q) · u. Obtenemos, pues, la ecuación |x− p|=(x− q) · u. Derivando resulta que:
x′ · [(x − p)/|x− p|]=x′ · u
Esto dice que la tangente hace ángulos iguales con la directriz y con el segmento que une a x con el foco. (Tarea: ¿Por qué? Sugerencia: es importante que [(x − p)/|x − p|] es un vector unitario.)
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