Geometria Euclidiana

oh oh algo hermozo y desastrozo a la vez si no se hace bien je je je je que miedono? pues esta seccion tratara hacerca de un gran numero de las demostraciones matematicas basandonos en proposiciones matematicas y asi como los famosos postulados de Euclides suena rico ja ja ja ...

La compra del caballo

Problema
En la aritmética de Magnitski encontre un divertido problema que dare a conocer sin sujetarme al lenguaje del original:
Cierta persona vendió su caballo por 156 rublos. Mas el comprador se arrepintió de haberlo adquirido y devolvió el caballo diciendo:
- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece.
El vendedor le propuso nuevas condiciones:
- Si te parece elevado ese precio, compra sólo los clavos de las herraduras y conseguirás de balde el caballo. En cada herradura hay 6 clavos; por el primer clavo me pagas tan sólo ¼ de kopek; por el segundo, ½; por el tercero, 1 kopek, etc.
El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su afán de tener gratis un caballo, aceptó la propuesta, creyendo que tendría que pagar por los clavos no más de 10 rublos.
¿Cuál fue el importe de la compra?

Las manzanas

Problema
Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo, la mitad de las restantes más media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron más media, etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas que quedaban más media, agotando con ello la mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero?

La cerradura secreta

Problema:

En cierta institución soviética fue hallada una caja fuerte de tiempos anteriores a la revolución. Mas para poder abrirla se precisaba conocer el secreto de la cerradura: ésta se componía de cinco rodillos, en torno a los cuales había un alfabeto con 36 letras; los rodillos debían combinarse de tal manera que formasen una determinada palabra desconocida. Para evitar forzar la caja decidióse probar con dichas letras todas las combinaciones posibles. En cada una de estas combinaciones se invertían tres segundos. ¿Podría abrirse la cerradura en 10 jornadas?

R= ejuarez.ciecias@gmail.com
erick_julia@hotmail.com

¿Cuánto pesa el aire?

Para comprobar hasta qué punto se facilitan los cálculos al representar lo números en forma de potencias, pongamos el siguiente ejemplo: hallemos cuántas veces la masa del globo terrestre es mayor que la del aire que lo rodea. El aire presiona sobre cada centímetro cuadrado de superficie terrestre con la fuerza de un kilogramo aproximadamente. Esto quiere decir que el peso de la columna de aire que se apoya en 1 cm² es igual a 1 kg. La capa atmosférica de la Tierra se forma, por decirlo así, del conjunto de dichas columnas de aire, que son tantas como centímetros cuadrados forman la superficie de nuestro planeta, y como cantidad de kilos pesa la atmósfera en su conjunto Si consultamos los índices correspondientes, averiguaremos que la superficie terrestre mide 510 millones de kilómetros cuadrados, es decir, 51* 10⁷ km² Veamos cuántos centímetros cuadrados hay en un kilómetro cuadrado. E kilómetro lineal se forma de 1 000 metros y cada uno de éstos tiene 10 centímetros, o sea, un total de 105 cm, por lo cual, el kilómetro cuadrado lo formarán (10⁵)2 10¹⁰ cm². De aquí que la superficie del globo terrestre ser igual a
51*10⁷*10¹⁰ = 51 * 10¹⁷ cm².
Esta cifra representa también la cantidad de kilogramos que pesa la atmósfera de la Tierra. Transformando los kilogramos en tonelada resultarán:
51*10¹⁷ /1.000 = 51*10¹⁷/103 = 51*10^{17 - 3}= 51*10¹⁴
mientras que la masa del globo terrestre es de 6 *10²¹ toneladas. Para conocer cuántas veces es más pesado nuestro planeta que la capa de aire que lo rodea, efectuemos la siguiente división:
6*10²¹/51*10¹⁴ » 10⁶
de donde se deduce que la masa atmosférica es, aproximadamente, la millonésima parte de la del globo terrestre.

Geometría Analítica

coocemos como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x² + y² = 4, la hipérbola xy = 1).

Localización de un punto en el plano cartesiano

En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, lascoordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).

A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denominaordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.

Ecuaciones de la recta en el plano

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax+By+C=0

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función polinómica de primer grado de la forma:

y=mx+b

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

• Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x₀,0). La ecuación de dichas rectas es:

• Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y₀). La ecuación de dichas rectas es:

• Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.

• Clasificación de la geometría analítica dentro de la geometría

  Desde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el Programa de Erlangen), la geometría analítica no es una geometría propiamente dicha.

  Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de lamatemática y de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra lineal, la geometría afín, la geometría diferencial o la geometría algebraica.

  Historia de la geometría analítica

  Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

  El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

  La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.

  Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.

  Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la geometría.

El segundo tiempo: ejemplo modesto a las finas advertencias

Como ejercicio de calentamiento, usemos esta técnica para resolver el siguiente problema: ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos x que equidistan de dos puntos dados p y q? Estamos buscando los x tales que |x − p| = |x − q|. Aquí, claro, podríamos simplemente elevar al cuadrado y desarrollar, obteniendo las siguientes ecuaciones equivalentes:

|x− p|2 = |x− q|2

|x|2−2 p · x+|p|2 = |x|2−2 q · x+|q|2

(q − p) · x =1/2( |q|2−|p|2 )

(q − p) ·( x−p+ q)/2 = 0.

Así vemos que el lugar geométrico buscado es la recta perpendicular al segmento pq que pasa por su punto medio. Esta recta se llama la mediatriz de pq, y debe ser geométricamente claro que consiste de los puntos que equidistan de p y q. (Tarea: ¿Cómo se demuestra esto sintéticamente?) Pero intentemos usar la idea de la parametrización: supongamos ahora que x = x(t) es un punto variable del lugar geométrico y hallemos la tangente al lugar geométrico derivando. Vamos a necesitar saber cómo se deriva la longitud de un vector variable. Expresando la longitud como |x| = px · x reducimos el problema a saber derivar un producto punto (y saber usar la regla de la cadena, claro). Para un producto punto la regla es exactamente la misma que para un producto normal: si x = x(t) y y = y(t) son dos funciones con valores vectoriales, (x · y)′ = x′ · y + x · y′. (Tarea: Demuestra esta fórmula escribiendo x y y

en términos de sus coordenadas cartesianas: x(t)=(x1(t), x2(t)) y algo análogo para y.)

El plato fuerte: conos en juliana con rectas tangentes

¿Qué cosas interesantes podemos probar con el método de las curvas parametrizadas? Parecería que es particularmente apto para lidiar con tangentes, dado que eso es justamente lo que da el vector de velocidad. Probablemente el primer resultado de tangentes que uno aprende es que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio (trazado al punto de tangencia, claro, ¿cuál otro tendría sentido?). ¿Qué tan fácil es probar esto usando derivadas?

Resulta bastante simple: una ecuación para una circunferencia es |x − p|=r, donde p es el centro y r es el radio (así que p es un vector y r es un número). Derivando obtenemos que (x − p) · x′ = 0. (Tarea: Obténlo.) Esto nos dice que la tangente en el punto x es perpendicular al segmento xp, como queríamos.

Desde luego, hay muchas otras ecuaciones para circunferencias. Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos x tales que el ángulo \pxq es recto es la circunferencia de diámetro p q. (Tarea: ¿Cómo se prueba esto sintéticamente?) O sea que la ecuación (x − p) · (x − q) = 0 también describe una circunfe- rencia. Derivando obtenemos x′ · (x − q) + (x − p) · x′ = 0, que se simplifica a (x − [p+ q]/2 ) · x′= 0. Esto es lo que esperabamos: la tangente en x es perpendicular al segmento que une a x con (p+ q)/ 2 , el centro de la circunferencia.

La siguiente cónica más complicada es la parábola, creo. ¿Qué podemos decir de sus tangentes? Nada sinuna definición de parábola. Desde luego, la mejor es la que define a la parábola como sección cónica: una parábola es la intersección de un cono con un plano paralelo a una generatriz del cono. Aquí no tengo espacio para hablar mucho de las secciones cónicas (ni siquiera pienso decir que es una generatriz, en un intento –más bien tristón, lo admito– por picar la curiosidad de quienes no lo sepan), pero es sabiduría antigua que las secciones cónicas son las soluciones del siguiente problema de lugares geométricos:

Dada una recta d (la directriz), un número e (la excentricidad) y un punto f (el foco), ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos x tales que dist(x, f)=e dist(x, d)?

Las parábolas son las cónicas con excentricidad uno, esto es, los conjuntos de puntos que equidistan de un punto (el foco) y una recta (la directriz) dados. Con esto podemos obtener una ecuación. La distancia al foco es simple de expresar, la distancia a la directriz no tanto. Tal vez la fórmula más simple se obtiene tomando un punto q sobre la directriz y el vector unitario perpendicular u. Entonces la distancia de x a la directriz es (x− q) · u. Obtenemos, pues, la ecuación |x− p|=(x− q) · u. Derivando resulta que:

x′ · [(x − p)/|x− p|]=x′ · u

Esto dice que la tangente hace ángulos iguales con la directriz y con el segmento que une a x con el foco. (Tarea: ¿Por qué? Sugerencia: es importante que [(x − p)/|x − p|] es un vector unitario.)

Numeros Perfectos

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2^n-1 * (2ⁿ-1):

• n = 2: 21 × (22 – 1) = 6

• n = 3: 22 × (23 – 1) = 28

• n = 5: 24 × (25 – 1) = 496

• n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128

Al darse cuenta que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto.

Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

• El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

• Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)

Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n–1(2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.

Posteriormente, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Considerando la suma de los divisores propios existen otros tipos de números.

• Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.

• Números abundantes: la suma es mayor que el número.

• Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores de b y viceversa.

• Números sociables: como los amigos, pero con un ciclo mayor de números.

El problema del Dollar

Están tres chicos en un bar, cuando piden la cuenta, que son $30 dólares, decidieron pagar en partes iguales, por lo tanto pagaron $10 dólares por cada uno.

Como eran amigos del dueño del bar, decidió hacerles una rebaja, y sólo les cobró $25 dólares. Entonces tenían que devolverle $5 dólares.

Pero de los $5 dólares que debían ser devueltos, el camarero decidió tomar $2 de propina. Por lo tanto le devolvió $1 a cada uno.

Problema: Si cada uno pagó $10, y a cada uno le devuleven $1, entonces entre los tres dieron $27, y si añadimos los $2 que se quedó el camarero, suman $29 en total. ¿En dónde está el dólar que hace falta?

El problema es de lo mas facil que se pueda notar ye que esta mal resuelto, explicar por que y en donde esta el error:

*NOTA: Resolver mediante analisis logico

Las aplicaciones de las ciencias basicas exactas en la vida diaria

El solo hecho de hablar de MATEMATICAS nos revuelve el estomago pero sin darnos cuenta que estan presente en todos lados a donde vamos, es un dolor de cabeza cuando alguien dice, Algebra, Arimetica, Calculo, Geometria, Estadistica, Trigonometria, Probabilidad, etc...

Un problema famoso de Fibonaci:

Resolver el siguiente problema:

Tres hombres tiene una pareja de conejos

y uno de ellos desea saber cuántos son creados a

partir de este par en 1 año cuando es su naturaleza parir otro par en

un simple mes, y en el segundo mes los nacidos también tendran crias y asi sucesivamente":

Represente la sucesion por medio de fibonaci o use sus propios metodos